物体在水平面上克服摩擦做功为什么等于其沿圆弧槽下滑重力做的功
这个问题涉及到能量守恒定律和功的定义。
首先考虑物体在水平面上克服摩擦做功的情况。当物体克服摩擦力沿水平面匀速运动时，由于摩擦力的作用，物体需要消耗一定的能量来保持匀速运动，这些消耗的能量就是物体对摩擦力做的功。根据功的定义，物体对摩擦力做的功可以表示为：$W_1 = F_f cdot d$，其中$F_f$为摩擦力，$d$为物体在水平面上运动的距离。
接下来考虑物体沿圆弧槽下滑重力做功的情况。当物体沿圆弧槽下滑时，重力会对物体产生作用，使其速度增加。根据能量守恒定律，物体下滑过程中消耗的势能等于其增加的动能，即$mgh = frac{1}{2}mv^2$，其中$m$为物体的质量，$g$为重力加速度，$h$为物体下滑的高度，$v$为物体的速度。因此，物体下滑过程中重力对物体做的功可以表示为：$W_2 = mgh$。
现在需要证明的是$W_1 = W_2$。由于物体在水平面上克服摩擦做功的过程和物体沿圆弧槽下滑重力做功的过程都是物体消耗势能的过程，因此两个过程所消耗的能量应该相等，即：
$$
mgh = F_f cdot d
$$
其中，$F_f$为摩擦力，$d$为物体在水平面上运动的距离，$h$为物体下滑的高度。由于圆弧槽的形状可以通过极坐标系表示，因此可以将下滑的距离表示为：$d = r cdot theta$，其中$r$为圆弧槽的半径，$theta$为物体下滑的角度。将$d$代入上式，得到：
$$
mgh = F_f cdot r cdot theta
$$
根据圆弧槽下滑过程中的运动学关系，可以得到：$v^2 = 2gh$，$theta = frac{h}{r}$。将这两个关系代入上式，得到：
$$
mgh = F_f cdot r cdot frac{h}{r} =
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